பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகள் 5 கடின நிலைகளில் விளக்கப்பட்டுள்ளன

கணினி விஞ்ஞானியும் UCLA சாமுவேலி பொறியியல் பள்ளியின் பேராசிரியருமான அமித் சஹாய் (Amit Sahai), இந்த வயர்டு (WIRED) தயாரிப்பில், பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகளை ஒரு குழந்தை முதல் நிபுணர் வரை ஐந்து சிக்கலான நிலைகளில் விளக்குகிறார். இந்தக் கருத்து இயற்பியல் ஒப்புமைகள் மூலம் விளக்கப்பட்டு, அதிகரிக்கும் தொழில்நுட்ப ஆழத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது, இது குறியாக்கவியலின் மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்றை அனைவருக்கும் அணுகக்கூடியதாக மாற்றுகிறது.

இந்த உரைவடிவம் வயர்டு (WIRED) வெளியிட்ட அசல் வீடியோ உரைவடிவத்தின் (opens in a new tab) அணுகக்கூடிய நகலாகும். இது வாசிப்புத்திறனுக்காகச் சிறிதளவு திருத்தப்பட்டுள்ளது.

அறிமுகம் (0:00)

அமித் சஹாய்: வணக்கம், என் பெயர் அமித் சஹாய், நான் UCLA சாமுவேலி பொறியியல் பள்ளியில் கணினி அறிவியல் பேராசிரியராக இருக்கிறேன். இன்று, பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகளை அதிகரிக்கும் சிக்கலான ஐந்து நிலைகளில் விளக்குமாறு என்னிடம் கேட்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று என்பது, ஒரு கூற்று உண்மை என்பதைத் தவிர வேறு எந்தக் கூடுதல் தகவலையும் வெளிப்படுத்தாமல், அந்தக் கூற்று உண்மைதான் என்று ஒரு சரிபார்ப்பியை நிரூபிப்பவர் நம்பவைப்பதற்கான ஒரு வழியாகும். பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகள் தொகுதிச்சங்கிலிகள் மற்றும் மறைக்குறியீட்டு நாணயங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. குறியாக்கவியலாளர்கள் பூஜ்ய-அறிவு குறித்து அதன் அற்புதமான கணிதப் பண்புகளுக்காக மட்டுமல்லாமல், பல வேறுபட்ட சூழ்நிலைகளில் அதன் நம்பமுடியாத பயன்பாட்டிற்காகவும் உற்சாகமடைந்துள்ளனர்.

நிலை 1: குழந்தை (0:41)

அமித் சஹாய்: உனக்குப் பிடித்த பாடம் எது?

செல்சியா: கணிதம் என்று சொல்வேன். சில சிறிய கணக்குகள் உண்மையில் மிகப் பெரியதாகவும் சிக்கலானதாகவும் இருக்கலாம். இது ஒரு புதிர் போன்றது.

அமித் சஹாய்: அதே காரணத்திற்காக எனக்கும் கணிதம் பிடிக்கும். இன்று, பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று எனப்படும் ஒன்றைப் பற்றி நான் உனக்குச் சொல்லப் போகிறேன். ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றில், இரண்டு நபர்கள் உள்ளனர் — ஒரு நிரூபிப்பவர் மற்றும் ஒரு சரிபார்ப்பி. நான் உனக்கு ஒன்று உண்மை என்று நிரூபிக்க விரும்புகிறேன், ஆனால் விசித்திரமான விஷயம் என்னவென்றால், அதற்கான எந்தக் காரணத்தையும் சொல்லாமல் அது உண்மை என்று நான் உனக்கு நிரூபிக்க விரும்புகிறேன். இதைப் பற்றி நான் முதன்முதலில் கேள்விப்பட்டபோது, பொறு, என்னது? அது எப்படிச் சாத்தியமாகும்? என்று நினைத்தேன்.

சரி, இந்தப் புகைப்படத்தில் நீ என்ன பார்க்கிறாய்?

செல்சியா: நிறைய பெங்குவின்கள்.

அமித் சஹாய்: ஆமாம். இந்த எல்லா பெங்குவின்களுக்கும் நடுவே ஒரு பஃபின் (puffin) பறவை மறைந்திருக்கிறது. அதைத் தேடிக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கிறாயா? அது எங்கே இருக்கிறது என்று உனக்குத் தெரிகிறதா? அது எங்கே இருக்கிறது என்று எனக்குத் தெரியும், ஆனால் நான் உனக்குச் சொல்ல விரும்பவில்லை. நீ என்னை நம்புகிறாயா?

செல்சியா: ஆமாம்.

அமித் சஹாய்: ஆனால் பஃபின் எங்கே இருக்கிறது என்பதை உனக்கு வெளிப்படுத்தாமலேயே, அது எங்கே இருக்கிறது என்று எனக்குத் தெரியும் என்பதை நான் உனக்கு நிரூபிக்க முடிந்தால் எப்படி இருக்கும்? நான் உனக்குக் காட்டுகிறேன். நான் அந்தப் புகைப்படத்தை எடுத்து இங்கே இந்தப் போஸ்டருக்குப் பின்னால் வைத்திருக்கிறேன். நீ ஏன் அந்தத் துளை வழியாகப் பார்க்கக் கூடாது?

செல்சியா: எனக்கு பஃபின் தெரிகிறது.

அமித் சஹாய்: எனவே நீ இந்தப் பலகையைப் பார்க்கும்போது, புகைப்படம் எங்கே இருந்தது என்று நமக்குத் தெரியாது, இல்லையா? புகைப்படம் இந்த மூலையில் இருந்ததா, அப்படியானால் பஃபின் முழுவதுமாக இந்தப் பக்கத்தில் இருக்குமா? அல்லது புகைப்படம் இந்த மூலையில் இருந்ததா, அப்படியானால் பஃபின் மறுபக்கத்தில் இருக்குமா? எனவே இது ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுக்கான மிக எளிய எடுத்துக்காட்டு. பஃபின் எங்கே இருக்கிறது என்று எனக்குத் தெரியும் என்பதை நான் உன்னை நம்பவைத்தேன், ஆனால் நீ வேறு எதையும் தெரிந்துகொள்ளவில்லை.

செல்சியா: நீங்கள் ஏன் பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றைப் படிக்கிறீர்கள்?

அமித் சஹாய்: நான் முதன்முதலில் அவற்றைப் பற்றிக் கற்றுக்கொண்டபோது, அவை மிகவும் அருமையானவை என்று நினைத்தேன். ஆனால் அவை உண்மையில் மிகவும் பயனுள்ளவை என்பது தெரியவந்தது — பஃபின்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு மட்டுமல்ல. நீ உனது கடவுச்சொல்லைத் தட்டச்சு செய்யும்போது, ஹேக்கர் கணினியை ஹேக் செய்தால், அவர்கள் உனது கடவுச்சொல்லை எளிதாகப் பெற்றுவிடலாம். அதற்குப் பதிலாக, உள்நுழைவதற்கு நாம் எப்படியாவது ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றைப் பயன்படுத்த முடிந்தால் எப்படி இருக்கும்? அவர்களுக்கு எதையும் வெளிப்படுத்தாமல், நீ செல்சியா என்பதை மட்டுமே உன்னால் நிரூபிக்க முடியும். உன்னால் அப்படிச் செய்ய முடிந்தால், அது ஆச்சரியமாக இருக்கும், ஏனென்றால் ஹேக்கர் கணினியை ஹேக் செய்தாலும், அவர்கள் எதையும் தெரிந்துகொள்ள மாட்டார்கள் — ஏனென்றால் கணினி கூட எதையும் தெரிந்துகொள்வதில்லை.

எனவே செல்சியா, உனது சொந்த வார்த்தைகளில், பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று என்றால் என்ன?

செல்சியா: பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று என்பது ஒரு கூற்றுக்கான சான்றாகும். ஏன் அல்லது என்ன என்பதை நீங்கள் அவர்களுக்குக் காட்ட மாட்டீர்கள். நீங்கள் அவர்களுக்கு ஒரு சிறிய பகுதியை மட்டுமே காட்டுகிறீர்கள், அல்லது உண்மையில் மேஜிக் இல்லாத ஒரு வகையான விசித்திரமான மேஜிக் தந்திரத்தைச் செய்கிறீர்கள், அவர்கள் நம்பிவிடுவார்கள். மேலும் நீங்கள் அவர்களுக்கு ஏன், அல்லது அது போன்ற எதையும் காட்டவில்லை.

நிலை 2: பதின்ம வயதினர் (3:31)

அமித் சஹாய்: இதற்கு முன்பு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று என்ற சொல்லை நீங்கள் எப்போதாவது கேள்விப்பட்டிருக்கிறீர்களா?

பதின்ம வயதினர்: நான் கேள்விப்பட்டதில்லை, இல்லை.

அமித் சஹாய்: இது ஒரு கூற்று ஏன் உண்மை என்பதைப் பற்றி எதையும் வெளிப்படுத்தாமல், அது உண்மைதான் என்று ஒரு சரிபார்ப்பியை நிரூபிப்பவர் நம்பவைப்பதற்கான ஒரு வழியாகும், இது கேட்பதற்கு முற்றிலும் விசித்திரமாகத் தெரிகிறது. நான் என்ன செய்ய விரும்புகிறேன் என்றால், இந்த ரகசியக் குறியீடு (combination) எனக்குத் தெரியும் என்பதை அந்தக் குறியீட்டை உங்களுக்கு வெளிப்படுத்தாமல் நிரூபிக்க விரும்புகிறேன். நீங்கள் என்ன செய்ய முடியும் என்றால், எனக்கு நிச்சயமாகத் தெரியாத ஒரு ரகசியத்தை ஒரு சிறிய குறிப்பில் எழுதலாம். அதை மடித்து, இங்கே உள்ளே வையுங்கள். பின்னர், எனக்கு அந்தக் குறியீடு தெரிந்திருந்தால், என்னால் அதைத் திறந்து நீங்கள் என்ன எழுதினீர்கள் என்று சொல்ல முடியும்.

சரி. "என் நாயின் பெயர் டக்."

பதின்ம வயதினர்: அந்தக் குறியீடு என்னவென்று நீங்கள் கண்டுபிடித்துவிட்டீர்களா?

அமித் சஹாய்: இல்லை. எனவே இந்த உரையாடலில் எங்கும் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியாத எந்தத் தகவலையும் நீங்கள் பார்க்கவில்லை. ஆனாலும் எனக்கு அந்தக் குறியீடு தெரியும் என்று நான் உங்களை நம்பவைத்தேன்.

பதின்ம வயதினர்: அப்படியானால் ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றின் சரியான நோக்கம் என்ன? நீங்கள் எதை நிரூபிக்கிறீர்களோ அதற்கு ஆபத்தை ஏற்படுத்தக்கூடிய போதுமான தகவல்களை வழங்காமல் ஒன்றை நிரூபிப்பது போன்றதா இது?

அமித் சஹாய்: மக்கள் ஒருவரையொருவர் நம்புவதில்லை. எனது ரகசியங்களை வெளிப்படுத்தாமல் நான் ஒன்றைச் சரியாகச் செய்திருக்கிறேன் என்று ஒருவருக்கு என்னால் நிரூபிக்க முடிந்தால், அந்த நபர் என்னை அதிகமாக நம்புவார்.

பதின்ம வயதினர்: இது கணினி தொழில்நுட்பத்துடன் எவ்வாறு தொடர்புடையது? இது நேரில் நடக்கும் உரையாடலா?

அமித் சஹாய்: உங்களுக்குத் தெரிந்த ஒருவருடன் நீங்கள் செய்திகளைப் பரிமாறிக்கொள்ள விரும்புகிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நீங்கள் அநேகமாக முதலில் ஒன்றாகச் சேர்ந்து சில ரகசியக் குறியீடுகளைக் கண்டுபிடிப்பீர்கள், இல்லையா? பின்னர் அந்தக் குறியீட்டில் ஒருவருக்கொருவர் செய்திகளை எழுதுவீர்கள். ஆனால் நீங்கள் அந்த நபரை இதற்கு முன்பு சந்தித்ததே இல்லை என்றால் என்ன செய்வது? நீங்கள் என்னுடன் ரகசியச் செய்திகளைப் பரிமாறிக்கொள்ள விரும்பினால், நாம் இதற்கு முன்பு ஒருவரையொருவர் சந்தித்ததே இல்லை என்றால் என்ன செய்வது? நாம் அதை எப்படிச் செய்ய முடியும்?

பதின்ம வயதினர்: எனக்கு எந்த யோசனையும் இல்லை.

அமித் சஹாய்: இது சாத்தியமற்றது போல் தெரிகிறது, இல்லையா? ஆனால் அது அப்படியல்ல. நீங்கள் ஒரு நிஜமான பூட்டையோ அல்லது நிஜமான பெட்டியையோ பயன்படுத்த மாட்டீர்கள். அதற்குப் பதிலாக இதுபோன்ற விஷயங்களைச் செய்ய நாம் கணிதத்தைப் பயன்படுத்துவோம். நீங்கள் ஒரு செய்தியை எடுத்து கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் குறியாக்கம் செய்யலாம். பின்னர் எனக்குத் திறவுகோல் தெரியும் என்பதை நான் உங்களுக்கு நிரூபித்து, அதைத் திறந்து, மீண்டும் உங்களுக்கு அனுப்ப முடியும். அந்த வகையில் கணிதப் பூட்டுப்பெட்டிக்கான கணிதத் திறவுகோல் எனக்குத் தெரியும் என்பதை நான் உங்களுக்கு நிரூபிப்பேன்.

எனவே இன்று நாம் விவாதித்தவற்றின் அடிப்படையில், உங்கள் சொந்த வார்த்தைகளில், பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று என்றால் என்ன?

பதின்ம வயதினர்: இது எப்படி என்றால், நீங்கள் ஒருவருக்குத் தெரியப்படுத்த விரும்பும் மிக முக்கியமான ரகசியம் உங்களிடம் உள்ளது, ஆனால் நீங்கள் எல்லாவற்றையும் அவர்களிடம் சொல்ல விரும்பவில்லை. அந்த ரகசியத்தை அவர்களுக்கு நிரூபிக்க நீங்கள் ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் அதையெல்லாம் விட்டுக்கொடுக்காமல்.

நிலை 3: கல்லூரி மாணவர் (6:13)

அமித் சஹாய்: நீங்கள் என்ன படிக்கிறீர்கள்?

கல்லூரி மாணவர்: நான் USC விடெர்பியில் (USC Viterbi) முதலாம் ஆண்டு கணினி அறிவியல் மாணவன். தரவு, இணையம், தொகுதிச்சங்கிலி மற்றும் மறைக்குறியீட்டு நாணயம் போன்ற அனைத்து விஷயங்களிலும் எனக்கு ஆர்வம் உள்ளது.

அமித் சஹாய்: பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகளைப் பற்றி நீங்கள் எப்போதாவது கேள்விப்பட்டிருக்கிறீர்களா?

கல்லூரி மாணவர்: மேலோட்டமாக மட்டுமே.

அமித் சஹாய்: உண்மையில், தொகுதிச்சங்கிலித் துறையானது பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகள் செயல்படுத்தப்படுவதை நாம் காணும் இடங்களில் ஒன்றாகும் — இது ஒரு ஆரம்பம் மட்டுமே என்று நான் நினைக்கிறேன். அதன் மையத்தில், ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று என்பது இரண்டு நபர்களுக்கிடையேயான ஒரு தொடர்பாகும். சில கூற்றுகள் உண்மை என்று என்னால் உங்களை நம்பவைக்க முடியும், ஆனால் அது ஏன் உண்மை என்று உங்களுக்கு எந்த யோசனையும் இருக்காது.

இதை நாம் அணுகப் போகும் விதம் NP-முழுமை (NP-completeness) எனப்படும் ஒன்றின் மூலமாகும். ஒரு NP-முழுமையான சிக்கல் என்பது தீர்க்க மிகவும் கடினமான ஒரு சிக்கலாகும். ஆனால் உங்களால் அதைத் தீர்க்க முடிந்தால், NP வகுப்பில் உள்ள எந்தவொரு சிக்கலையும் உங்களால் தீர்க்க முடியும் — மேலும் அதில் ஏராளமான சிக்கல்கள் அடங்கும். ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றின் மூலம் நம்பமுடியாத பல்வேறு கூற்றுகளை உண்மையில் நிரூபிக்க நாம் ஒரு NP-முழுமையான சிக்கலைப் பயன்படுத்தப் போகிறோம். நாம் பார்க்கப் போகும் குறிப்பிட்ட NP-முழுமையான சிக்கல் வரைபட மூன்று-வண்ணமிடல் (map three-coloring) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இங்கே பல நாடுகளைக் கொண்ட ஒரு வரைபடம் உள்ளது, ஒரே நிறத்தைக் கொண்ட எந்த நாடுகளும் எல்லையைப் பகிர்ந்துகொள்ளாதபடி இது அமைக்கப்பட்டுள்ளது. அதுதான் இது போன்ற ஒரு வரைபடத்தைச் செல்லுபடியாகும் வகையில் வண்ணமிடப்பட்டதாக மாற்றுகிறது. ஒரு வரைபடத்தை இந்த வழியில் மூன்று வண்ணங்களில் தீட்ட முடியுமா இல்லையா என்பது ஒரு NP-முழுமையான சிக்கலுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்பது தெரியவந்துள்ளது.

ஒருவேளை நீங்கள் உண்மையில் செய்ய விரும்புவது, உங்கள் கணக்கின் முகவரியை வெளிப்படுத்தாமல், உங்களிடம் குறைந்தது 0.3 பிட்காயின் இருப்பதற்கான பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றை வழங்குவதாக இருக்கலாம். நான் அந்தக் கூற்றை எடுத்து நாடுகளின் வரைபடமாக மாற்ற முடியும் என்று மாறிவிடும். உங்களிடம் குறைந்தது 0.2 பிட்காயின் இருந்தால் மட்டுமே அந்த நாடுகளின் வரைபடம் மூன்று வண்ணங்களில் தீட்டக்கூடியதாக இருக்கும்.

கல்லூரி மாணவர்: இது போன்ற ஒன்றை நாம் எப்படி ஒரு பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றாக மாற்றுவோம்?

அமித் சஹாய்: நிச்சயமாக, முதல் படி நாம் எல்லா வண்ணங்களையும் அழிக்க வேண்டும். இந்த ஒவ்வொரு உறைக்குள்ளும் நான் ஒரு வண்ணத்தை வைத்துள்ளேன். இப்போது, இது செல்லுபடியாகும் வண்ணமிடல் என்று உங்களுக்கு எப்படித் தெரியும்? உங்களுக்குத் தெரியாது. நீங்கள் அண்டை நாடுகளான ஏதேனும் இரண்டைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் — நீங்கள் அவற்றை எப்படி வேண்டுமானாலும், சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

கல்லூரி மாணவர்: நான் இந்த இரண்டையும் எடுக்கலாமா?

அமித் சஹாய்: இங்கே நம்மிடம் பச்சை நிறம் உள்ளது, இங்கே நீல நிறம் உள்ளது. நீங்கள் பார்ப்பது போல், அவை இரண்டு வெவ்வேறு வண்ணங்கள். எனவே நான் இதைச் சரியாக வண்ணமிட்டுள்ளேன் என்பதில் உங்களுக்குச் சிறிது நம்பிக்கை உள்ளது — ஆனால் அவ்வளவு நம்பிக்கை இல்லை, ஏனென்றால் நான் உங்களுக்கு இரண்டு நாடுகளை மட்டுமே காட்டியுள்ளேன். அதிக நம்பிக்கையைப் பெறுவதற்கான ஒரு வழி, அவற்றில் பலவற்றைத் திறப்பதுதான், ஆனால் அது உங்களுக்குத் தகவல்களை வெளிப்படுத்துவதாக இருக்கும். நான் அதைச் செய்ய விரும்பவில்லை.

எனவே அதற்குப் பதிலாக, தயவுசெய்து திரும்பி நிற்குமாறு நான் உங்களிடம் கேட்கப் போகிறேன். இப்போது, இந்த வண்ணங்களை மாற்றுவோம்.

நீங்கள் சீரற்ற முறையில் இரண்டு நாடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்க முடியுமா, நாங்கள் மீண்டும் இரண்டு வண்ணங்களை வெளிப்படுத்துவோம்.

கல்லூரி மாணவர்: நான் இதையும் இதையும் எடுத்துக்கொள்கிறேன்.

அமித் சஹாய்: நீங்கள் ஏற்கனவே வைத்திருந்த அதே நாட்டை வைத்துச் சரிபார்ப்பது உங்கள் புத்திசாலித்தனம். ஆனால் நீங்கள் பார்ப்பது போல், இப்போது அது பச்சை அல்ல — அது நீலம். மறுபுறம் இது பச்சை நிறத்தில் உள்ளது. நான் கடந்த முறை உங்களுக்குக் காட்டிய வண்ணங்கள் இந்தப் புதிய வண்ணங்களுடன் வேலை செய்யாது. ஆனால் நான் இப்போது உங்களுக்குக் காட்டும் இந்த வண்ணமிடலுக்கு இது வேலை செய்கிறது. எனவே நாம் என்ன செய்திருக்கிறோம் என்றால், நீங்கள் துண்டுகளை ஒன்றாகச் சேர்ப்பதைச் சாத்தியமற்றதாக்கிவிட்டோம். நீங்கள் இதை ஆயிரம் முறை செய்தால், ஒவ்வொரு முறையும் நான் உங்களுக்கு வெவ்வேறு வண்ணங்களைச் சரியாகக் காட்டினால், நீங்கள் உண்மையிலேயே நம்பிவிடுவீர்கள். அவ்வளவுதான் — அதுதான் முழுமையான பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று.

கல்லூரி மாணவர்: அப்படியானால் இது ஒரு நிகழ்தகவுச் சான்று (probabilistic proof) போன்றதா?

அமித் சஹாய்: ஆமாம். உண்மையான செயலாக்கங்களில் நாம் உறைகளைப் பயன்படுத்த மாட்டோம் — நீங்கள் குறியாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவீர்கள். ஆனால் இதுதான் நெறிமுறை.

கல்லூரி மாணவர்: அப்படியானால் பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகளின் பரந்த தாக்கங்கள் என்ன? அவை செயல்படுத்துவதற்கு மிகவும் நடைமுறைக்குரியதாக இருக்க வேண்டுமா, அல்லது அவை கட்டமைப்பு ரீதியாக ஒன்றை நிரூபிக்க வேண்டுமா?

அமித் சஹாய்: இது ஒன்றை மிகவும் திறமையானதாக மாற்றுவது பற்றியது அல்ல. இது முன்பு எப்படிச் செய்வது என்று நமக்குத் தெரியாத விஷயங்களைச் செய்வது பற்றியது. எனது ரகசியங்கள் எதையும் வெளிப்படுத்தாமல், நான் நேர்மையாக நடந்துகொள்கிறேன் என்பதை என்னால் உங்களுக்கு நிரூபிக்க முடியும். அந்த ரகசிய ஆவணம் என்ன என்பதை வெளிப்படுத்தாமல், குறியாக்கம் செய்யப்பட்ட சில ஆவணங்களில் நான் சரியாகக் கையெழுத்திட்டேன் என்பதை என்னால் உங்களுக்கு நிரூபிக்க முடியும். விளையாட்டை மாற்றும் அந்தத் திறன் — நாம் என்ன செய்ய முடியும் என்பதை உண்மையிலேயே மாற்றுவது — அதுதான் பூஜ்ய-அறிவு கொண்டுவரும் நன்மையாகும்.

கல்லூரி மாணவர்: பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகளைப் பயன்படுத்தி நாம் எங்கே அதிக நம்பிக்கையை உருவாக்க முடியும் என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்கள்?

அமித் சஹாய்: ஒரு சிறந்த உதாரணம் தேர்தல்கள். ஒரு தேர்தல் சரியாக நடத்தப்பட்டது என்பதை — ஒவ்வொரு வாக்கும் எண்ணப்பட்டது மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட மொத்தத்துடன் ஒரு நபர் வெற்றிபெறுவதற்கு அது அனைத்தும் சேர்க்கப்பட்டது என்பதை — பூஜ்ஜிய-அறிவில் உங்களால் நிரூபிக்க முடிந்தால், எந்தவொரு நபரின் உண்மையான வாக்குகளையும் நீங்கள் விட்டுக்கொடுக்க வேண்டியதில்லை. ஆனாலும் அது சரியாகச் செய்யப்பட்டது என்பதை அனைவரும் பார்க்க முடியும்.

நிலை 4: பட்டதாரி மாணவர் (11:59)

அமித் சஹாய்: நீங்கள் இங்கே இருப்பதும் உங்களுடன் பேசுவதும் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறது, எலி (Eli). உங்கள் ஆராய்ச்சியைப் பற்றி எனக்குச் சிறிது சொல்ல முடியுமா?

எலி: எனது ஆராய்ச்சி குறியாக்கவியலில் உள்ளது. குறிப்பாக, நான் சில பல-தரப்பு கணக்கீட்டு (multi-party computation) நெறிமுறைகளில் வேலை செய்கிறேன். நான் இப்போது வேலை செய்துகொண்டிருப்பது ஒட்டுமொத்தப் புள்ளிவிவரங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு அமைப்பாகும், இதனால் கூகுள் குரோம் (Google Chrome) அல்லது டெஸ்லா (Tesla) போன்ற சேவை வழங்குநர்கள் தனிப்பட்ட பயனர்களின் தரவைப் பற்றி எதையும் தெரிந்துகொள்ளாமல் அந்தப் புள்ளிவிவரங்களைச் சேகரிக்க முடியும். ஒரு பயனராக நான், எனக்குப் பிடித்த இணையதளம் mylittlepony.com என்பதை பயர்பாக்ஸ் (Firefox) அறிந்துகொள்ள அனுமதிக்க வேண்டியதில்லை. ஆனால் ஒவ்வொரு நாளும் எத்தனை பயனர்கள் mylittlepony.com-க்குச் செல்கிறார்கள் என்பதை அவர்கள் அறிந்துகொள்ள முடியும்.

அமித் சஹாய்: அது அருமை. பல-தரப்பு கணக்கீடு எனது மனதிற்கு மிகவும் நெருக்கமானது மற்றும் அன்பானது. வெளிப்படையாக, பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகள் என்பது நீங்கள் எதை நிரூபிக்கிறீர்கள் என்பதன் விவரங்களை வெளிப்படுத்தாமல் மற்றொரு நபருக்கு விஷயங்களை நிரூபிப்பதாகும். ஆனால் என் மனதில், பூஜ்ய-அறிவு உண்மையில் அதற்கும் அப்பால் செல்கிறது. பல-தரப்பு கணக்கீட்டில் நீங்கள் அதிகம் பார்க்கக்கூடிய இந்த விரிவான கருத்து இதுவாகும், அங்கு நீங்கள் அந்தப் பணியைச் செய்யத் தேவையானதைத் தவிர வேறு எதையும் வெளிப்படுத்தாமல் சில பணிகளைச் செய்து முடிக்க விரும்புகிறீர்கள்.

எலி: சரிதான், மேலும் நீங்கள் உண்மையில் நேர்மையாக நடந்துகொள்ளப் பயன்படுத்தும் எந்த ரகசியங்களையும் வெளிப்படுத்தாமல், நீங்கள் நேர்மையாக நடந்துகொள்கிறீர்கள் என்பதை நிரூபிக்க இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. NP-முழுமையான மொழிகளுக்கான பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகள் குறியாக்கவியலில் இவ்வளவு பெரிய பங்கை வகிக்கின்றன என்பதை நாம் அறிவோம். NP-முழுமையுடனான உங்கள் முதல் அனுபவம் எப்படி இருந்தது?

அமித் சஹாய்: எனது முதல் சந்திப்பு ஒரு இளங்கலை மாணவராக எனது முதல் அல்காரிதம் வகுப்பில் இருந்தது. ஒரு NP-முழுமையான மொழி என்பது இந்த அற்புதமான சிக்கலாகும், இது தன்னைப் பற்றி உங்களுக்குச் சொல்வது மட்டுமல்லாமல், இந்தச் சிக்கலைத் தீர்ப்பது உண்மையில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான சிக்கல்களின் முழு வகுப்பைப் பற்றியும் உங்களுக்குச் சொல்லும்.

எலி: நாம் ஒருவருக்கொருவர் பேசிக்கொள்ளும் ஒரு ஊடாடும் விளையாட்டாகச் சான்றுகளைப் பற்றி நீங்கள் முதலில் சிந்திக்கத் தொடங்கியபோது, அது பூஜ்ய-அறிவைச் சாத்தியமாக்கியதா?

அமித் சஹாய்: நிச்சயமாக. மேலும் ஒன்றை நிரூபிக்கச் சீரற்றதன்மை பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்ற எண்ணம் — மீண்டும், ஒரு சான்றின் பிளாட்டோனிக் இலட்சியத்தைப் பற்றி நாம் சிந்தித்தால் அது மிகவும் முரணாகத் தெரிகிறது. அங்கு எந்தச் சீரற்றதன்மையும் இல்லை, தீர்மானிக்க முடியாத தன்மையும் இல்லை.

எலி: இது ஒரு சான்றைத் தலைகீழாகப் புரட்டும் இந்த முழு யோசனையுடனும் தொடர்புடையது. ஒரு பழைய கிளாசிக்கல் சான்றில், சீரற்றதன்மை என்பது நீங்கள் செய்ய முயற்சிக்கும் இலக்கிற்கு குறிப்பாக எதிரானது, ஏனென்றால் நீங்கள் எல்லாவற்றையும் வெளிப்படையாக்க மற்றும் தகவல்களின் ஓட்டத்தை வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கிறீர்கள். ஆனால் நீங்கள் அதைத் தலைகீழாகப் புரட்டி, நீங்கள் இனி அதைச் செய்ய முயற்சிக்காதபோது, திடீரென்று சீரற்றதன்மையின் அனைத்து மோசமான பண்புகளும் நல்லதாகிவிடும்.

அமித் சஹாய்: சரியாகச் சொன்னீர்கள். சீரற்றது கணிக்க முடியாதது, அதைத்தான் நாம் விரும்புகிறோம். நாம் மறைக்க விரும்பும் தகவலை உண்மையில் மறைக்க அந்தக் கணிக்க முடியாத தன்மையை நாம் விரும்புகிறோம். நீங்கள் பணிபுரிந்த திட்டங்களில் பூஜ்ய-அறிவை எவ்வாறு பயன்படுத்தினீர்கள்? நீங்கள் காணும் சவால்கள் என்ன?

எலி: வழக்கமாக, அதைப் பயன்படுத்துவதற்கான சிறந்த இடம் எது என்பதைச் சரியாகக் கண்டுபிடிப்பதுதான் கடினமான பகுதியாகும். பூஜ்ய-அறிவை மிகவும் கோட்பாட்டு ரீதியாகப் பயன்படுத்திய சில கட்டுரைகளை நான் எழுதியுள்ளேன், ஆனால் பயன்பாடுகளுக்கு வரும்போது, நான் இதுவரை பார்த்த மிகவும் அற்புதமான பயன்பாடுகளில் சில தொகுதிச்சங்கிலித் துறையில் உள்ளன.

அமித் சஹாய்: செயல்திறன் இடையூறுகளில் சில யாவை?

எலி: பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகளைப் பற்றிய மிகச் சிறந்த விஷயங்களில் ஒன்று, அதில் பல வகைகள் உள்ளன — நான் அவற்றைச் சுவைகள் என்று அழைக்க விரும்புகிறேன். பொதுவாக, நீங்கள் பயன்பாட்டில் பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகளைப் பயன்படுத்தும்போது, முக்கிய இடையூறு நிரூபிப்பவர் மீது இருக்கும்.

அமித் சஹாய்: நீங்கள் நிரூபிப்பவரின் வேலையை எடுத்து அதை நிறைய இணையான கணக்கீடுகளாகப் பிரிக்க முடியுமா?

எலி: அது மிகவும் வேடிக்கையான கேள்வி. ஒரு துறையாக அதற்கான பதில் நமக்கு இன்னும் தெரியவில்லை என்று நினைக்கிறேன். கடந்த மூன்று அல்லது நான்கு ஆண்டுகளில் நான் பார்த்த மிகச் சிறந்த விஷயங்களில் ஒன்று, கோட்பாட்டிலிருந்து பயன்பாட்டிற்கு மாறுவதுதான் — கடந்த 30 ஆண்டுகளில் மக்கள் நினைத்த இந்த அற்புதமான அமைப்புகள் அனைத்தும் உண்மையில் உருவாக்கப்படும் அளவுக்குத் திறமையானதாக மாறத் தொடங்குவதைப் பார்ப்பது.

அமித் சஹாய்: சந்தேகமே இல்லை. மேலும் குறிப்பாகக் கிளவுட் கம்ப்யூட்டிங் (cloud computing) மூலம் — பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றுகளைச் செயல்படுத்த கிளவுட்டின் சக்தியைப் பயன்படுத்துவது ஆச்சரியமாக இருக்கும். தொகுதிச்சங்கிலித் துறையிலும், சான்றுகளை உருவாக்குவதை நீங்கள் விரைவுபடுத்த விரும்பினால், அதை ஒரு பரவலாக்கப்பட்ட வழியில் செய்ய முடிந்தால், அது சிறப்பாக இருக்கும். எனக்கு இருக்கும் நம்பிக்கைகளில் ஒன்று என்னவென்றால், பல-தரப்பு கணக்கீட்டின் சக்தி என்பது பரஸ்பரம் நம்பிக்கையற்ற மக்களை ஒன்றிணைப்பதாகும். குறியாக்கவியலில் உள்ள அந்தச் சக்தியை நாம் எடுத்து, இப்போது சமூகத்தில் நிலவும் அபரிமிதமான அவநம்பிக்கைக்கு உதவ அதைப் பயன்படுத்த முடியுமா?

எலி: பல-தரப்பு கணக்கீட்டின் மீது நான் மிகவும் ஈர்க்கப்பட்டதற்கு அதுவும் ஒரு காரணம் என்று நினைக்கிறேன். உலகில் உள்ள மிக முக்கியமான பிரச்சனைகளில் ஒன்று, பல மக்கள் ஒருவரையொருவர் நம்புவதில்லை என்பதுதான். மக்கள் ஒருவரையொருவர் நம்ப வேண்டிய அவசியமில்லாமல் ஒன்றாக வேலை செய்ய அனுமதிக்கும் தொழில்நுட்பத்தை உருவாக்கக் கணிதத்தைப் பயன்படுத்த முடிவது மிகவும் அருமையான மற்றும் அற்புதமான பணியாகும்.

நிலை 5: நிபுணர் (17:10)

அமித் சஹாய்: ஷாங்-ஹுவா (Shang-Hua), உங்களை மீண்டும் பார்ப்பதில் மிகவும் மகிழ்ச்சி. நாம் கடைசியாக 2017-ல் சந்தித்தோம் என்று நினைக்கிறேன்.

ஷாங்-ஹுவா: பெருந்தொற்றின் போது நாம் ஒருமுறை ஜூமில் (Zoom) பேசினோம் என்று நினைக்கிறேன், ஆனால் உங்களை நேரில் பார்ப்பது மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறது. உண்மையில், 86-ல் நான் RSA-வின் A-ஆன பேராசிரியர் லியோனார்ட் அட்லெமனுடன் (Leonard Adleman) ஒரு கிரிப்டோ வகுப்பை எடுத்துக்கொண்டிருந்தேன். அவர் எனக்கு கோல்ட்வாசர் (Goldwasser), மிகாலி (Micali) மற்றும் சார்லி ராக்காஃப் (Charlie Rackoff) ஆகியோரின் பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று பற்றிய கட்டுரையை ஒதுக்கினார். எனவே அதுதான் இந்த நாட்டில் எனது முதல் விளக்கக்காட்சி — பூஜ்ய-அறிவு பற்றி.

அமித் சஹாய்: அது அருமை. இது கிட்டத்தட்ட ஒரு ஹிப்னாடிக் (hypnotic) கருத்தாகும்.

ஷாங்-ஹுவா: அந்தக் கருத்துகளைக் கணித ரீதியாக எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதும் சுவாரஸ்யமானது. எடுத்துக்காட்டாக, நம்மிடம் தரவு உள்ளது. இறுதியில் தரவிலிருந்து, தரவுச் செயலாக்கத்தின் (data mining) மூலம், நீங்கள் தகவலைப் பெறலாம். பின்னர் உங்களிடம் "அறிவு" என்ற இந்த வார்த்தை உள்ளது. அறிவு என்பது தத்துவத்தில் கூட நீண்ட காலமாக விவாதிக்கப்பட்டு வருகிறது. அறிவு என்றால் என்ன? ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் அல்லது கணினி விஞ்ஞானிகள் இந்த அறிவைப் பிடிக்க விரும்பும் மிகவும் கவர்ச்சிகரமான வழி இங்கே உள்ளது. இது "பூஜ்ஜிய-தகவல் சான்று" என்று கூறவில்லை. எனவே "தகவல்" அல்லது "பூஜ்ஜிய-தரவு சான்று" என்பதற்குப் பதிலாக ஏன் "அறிவு" என்பது பற்றிய உங்கள் கருத்து என்ன? தெளிவாக அங்குத் தரவு உள்ளது, எனவே அது பூஜ்ஜிய-தரவாக இருக்க முடியாது.

அமித் சஹாய்: நிச்சயமாக. அந்தக் கேள்விக்கு நம்மிடம் இன்னும் முழுமையான திருப்திகரமான பதில் இருப்பதாக நான் நினைக்கவில்லை. நீங்கள் ஏற்கனவே கணிக்கக்கூடிய ஒன்றாகப் பூஜ்ய-அறிவு இருக்கும் என்ற எண்ணம் மிகவும் அழகான நுண்ணறிவாக இருந்தது. உங்களால் ஏற்கனவே பதிலைக் கணிக்க முடிந்தால், அந்த உரையாடலின் மூலம் நீங்கள் எந்த அறிவையும் பெறவில்லை என்று அர்த்தம். இந்த நுண்ணறிவு — எதிர்காலத்தைத் துல்லியமாகக் கணிக்க முடிவது மற்றும் அது புதிய அறிவு இல்லாததற்கான சான்றாக இருப்பது — மிகவும் அழகான, அற்புதமான நுண்ணறிவாகும்.

ஷாங்-ஹுவா: சரி, இங்கே பூஜ்ஜிய-தகவல் இல்லை. அடிப்படையில், கணினி மற்றும் பாதுகாப்புப் கண்ணோட்டத்தில், நீங்கள் எவ்வளவு தகவல்களைப் பெற்றுள்ளீர்கள் மற்றும் உங்களிடம் எவ்வளவு தரவு உள்ளது என்பதை விட, நீங்கள் எவ்வளவு அறிவைப் பெறுகிறீர்கள் என்பதுதான் முக்கியம். தரவு உடனடியாக அறிவைக் குறிக்காது. ஆனால் மக்களால் எப்போதும் வேறுபடுத்திப் பார்க்க முடியாது.

அமித் சஹாய்: சரிதான். எடுத்துக்காட்டாக, மருத்துவ ஆராய்ச்சியில் — ஒரு மருந்தைக் கொண்டிருப்பது மற்றும் கலவையின் கட்டமைப்பை வெளிப்படுத்தாமல், இந்த மாதிரியில் அது வேலை செய்கிறது என்பதை நிரூபிப்பது எவ்வளவு ஆச்சரியமாக இருக்கும்?

ஷாங்-ஹுவா: இந்தத் துறையில் அடுத்த திசைகள் என்னவென்று நீங்கள் கூறுவீர்கள்?

அமித் சஹாய்: பூஜ்ஜிய-அறிவு நிரல்களின் இந்தக் கருத்து, எந்தவொரு தொடர்பும் இல்லாமல், முற்றிலும் தன்னிச்சையான கணக்கீடுகளைப் பூஜ்ஜிய-அறிவு வழியில் மேற்கொள்ள உங்களை அனுமதிக்கும். நான் நிரலை எடுத்து, அதைப் பூஜ்ஜிய-அறிவு நிரலாக — அல்லது குழப்பமான நிரலாக (obfuscated program) — மாற்றி, பின்னர் அதை உங்களுக்கு அனுப்ப முடியும். நீங்கள் அதை இயக்கி, இனி என்னிடம் பேச வேண்டிய அவசியமில்லாமல் அந்தக் கணக்கீட்டின் பலனைப் பெறலாம்.

ஷாங்-ஹுவா: அது சரிதான். இதில் ஊடாடாத தன்மை உள்ளது. ஆனால் அதில் சரிபார்க்கும் தன்மை உள்ளது. தொகுதிச்சங்கிலியில், அவர்கள் பேரேட்டில் (ledger) மிகவும் பொதுவான பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்றையும் இணைக்கத் தொடங்கினர்.

அமித் சஹாய்: பூஜ்ய-அறிவு மேலும் மேலும் பயன்படுத்தப்படப் போகும் இந்தத் தருணத்தில் நாம் நிச்சயமாக இருக்கிறோம். பூஜ்ஜிய-அறிவுத் துறையில் பல மாநாடுகள் மற்றும் கூட்டங்கள் உள்ளன, அங்கு நீங்களும் நானும் அழைக்கப்படவில்லை — ஏனென்றால் அது உருவாக்குபவர்களுக்கானது, நிரலாக்கம் செய்பவர்களுக்கானது, கணிதவியலாளர்களான நமக்கானது அல்ல. அது ஒரு அறிகுறி என்று நான் நினைக்கிறேன். நமது குழந்தை வளர்ந்துவிட்டது என்பதற்கும், அது உருவாக்கப்படுவதற்கான நேரம் வந்துவிட்டது என்பதற்கும் அது ஒரு அறிகுறியாகும்.

ஷாங்-ஹுவா: ஆழமாகச் சிந்தித்தால், நிஜ உலகிலும் கணிதக் கணக்கீட்டிலும் கிரிப்டோ, பூஜ்ஜிய-அறிவுச் சான்று ஆகிய இரண்டின் எதிர்காலத் திசைகள் என்ன என்று மாணவர்கள் அடிக்கடி என்னிடம் கேட்கிறார்கள் என்று நினைக்கிறேன்.

அமித் சஹாய்: இது ஒரு சிறந்த கேள்வி. என்னால் எதிர்காலத்தைப் பார்க்க முடிந்தால் நன்றாக இருக்கும். என்னால் முடியாது, ஆனால் நான் முயற்சிக்கிறேன். கடந்த சில தசாப்தங்களாக நாம் குறியாக்கவியலில் நிறையச் செய்திருக்கிறோம் என்று நினைக்கிறேன், ஆனால் நாம் மிகக் குறைவாகவே புரிந்துகொள்கிறோம். கடினத்தன்மையைப் புரிந்துகொள்வதுதான் மிக அடிப்படையான அம்சமாகும் — கடினமான சிக்கல்களை நாம் எவ்வாறு பெறுவது? கணித ரீதியாகக் கடினமான சிக்கல்களை நாம் எவ்வாறு உருவாக்குவது, அதன் மூலம் திறமையான பூஜ்ஜிய-அறிவு நிரல்களையும் சான்றுகளையும் உருவாக்க அவற்றைப் பயன்படுத்த முடியுமா?

ஷாங்-ஹுவா: குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங்கிலும் (quantum computing), உங்களுக்கு இன்னும் கடினமான சிக்கல்கள் தேவை என்று நான் நினைக்கிறேன்.

அமித் சஹாய்: உண்மைதான். இப்போது குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங்கின் அச்சுறுத்தல் நம்மை நோக்கி வருவதால், குவாண்டம் கணினிகள் பல குறியாக்கவியல் அமைப்புகளை உடைக்க முடியும் என்பதை நாம் அனைவரும் அறிவோம். இது ஒரு ஆழமான சவாலாகும். எனவே குவாண்டம்-எதிர்ப்புத் திறன் கொண்ட — குவாண்டம் கணினிகளால் கூட உடைக்க முடியாத — கடினத்தன்மையின் புதிய ஆதாரங்களை நாம் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? கடந்த பல ஆண்டுகளாக நான் அதில் தான் வேலை செய்து வருகிறேன்.

ஷாங்-ஹுவா: ஆனால் அவை அழகான கணிதத்தை ஊக்குவிக்கும் என்று நான் உறுதியாக நம்புகிறேன்.

அமித் சஹாய்: ஆமாம், அது சரிதான். நிஜ உலகத்தைப் பற்றிய சிறந்த விஷயங்களில் ஒன்று, நிஜ உலகில் உள்ள மக்களுக்குத் தேவைகள் உள்ளன. அந்தத் தேவைகள் பெரும்பாலும் சாத்தியமற்றதாகத் தோன்றும். அங்குதான் நாம் வருகிறோம் — சாத்தியமற்றதைச் சாத்தியமாக்குவது நமது வேலை.